/* Copyright (C) 2021-22-23-24 Alessandro Languasco */ /**************** A. LANGUASCO ******************** ************* COMPUTATION OF Shanks b and c constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********/ global(tab); \\global variable used to initialise sumnum \\ for computing the acceleration level for the c constant \\{acclevelC(a) = log( a *log(10)/log(2) - 2 ) /log(2) - 1;} {acclevelC(a) = local(num,den,res); num = a * log(10) - log(3) + log(log(3)); den = 2 * log(2); res = log( 1+ num/den ) / log(2); return(res); } \\ for computing the acceleration level for the b constant {acclevelB(a) = local(num,den,res); num = a * log(10) - log(6); den = log(2); res = log( num/den ) / log(2) -1 ; return(res); } {shanks(defaultprecision)=local(minutes, millisec, seconds, derlog, gammaSB, Shanksc, Shanksb, prepShanksb, sumderlogs, errB, errC, elaptimefinalcomp, J, logtwo, twopow, logfour, onequarter, threequarters, catalan, deltahurwitz, zeta2, zetaval, doublepow2, rec, twicetwopow, logradtwo, den, resfile, logthree, gammaNH, Cilleruelo, log_gauss_constant, gauss_constant, gamma41, gamma43 ); print("************ A. LANGUASCO *************"); print("********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants **********"); print("********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo **********"); print("********* gauss_constant/gamma41/gamma43 **********"); \\ precision setting default(realprecision,defaultprecision+10); default(format,f); print("WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! "); gettime(); print("Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo :"); print("------ "); print ("Requested precision = ", defaultprecision ); J = ceil(acclevelC(defaultprecision)); if (J > 20, error("J > 20 : decrease the required precision !")); onequarter = 0.25; threequarters = 0.75; logtwo = log(2); logfour = 2*logtwo; logradtwo = 0.5*logtwo; logthree = log(3); den = (4.0)^(2^J); errC = 2/3 * logthree / den; errB = 1/(6*den); \\ step 1 of the iteration twopow = 2; \\ keep this integral (faster computation of zetahurwitz) deltahurwitz = zetahurwitz(twopow,onequarter)- zetahurwitz(twopow,threequarters); catalan = deltahurwitz / 16.0; zeta2 = Pi^2/(6.0); prepShanksb = 0.25 * ( logthree + log(zeta2) - log(deltahurwitz) ); sumderlogs = ( (zetahurwitz(2,onequarter,1) - zetahurwitz(2,threequarters,1) ) / deltahurwitz - zetahurwitz(2,1,1)/zeta2 - logtwo/3.0 ); twopow = twopow*2; \\ = 4 doublepow2 = 16; \\ = 2^4 for (k = 2, J, deltahurwitz = zetahurwitz(twopow,onequarter)- zetahurwitz(twopow,threequarters); zetaval = zeta(twopow); twicetwopow = 2 * twopow; rec = 1.0/twicetwopow; prepShanksb += rec * (log(zetaval) + log(doublepow2-1) - log(deltahurwitz ) ) + logradtwo ; sumderlogs += ( zetahurwitz(twopow,onequarter,1) - zetahurwitz(twopow,threequarters,1) ) / deltahurwitz - zetahurwitz(twopow,1,1)/zetaval - logtwo/(doublepow2-1) ; twopow = twicetwopow; doublepow2 = doublepow2*doublepow2; \\ 2^(2^(k+1)) = 2^(2^k * 2) = (2^(2^k)) ^2 ); Shanksb = exp(prepShanksb); sumderlogs += (-logfour) * J; derlog = Euler + logfour + 3 * log(Pi) - 4 * log(gamma(onequarter)); \\ L'(1,chi)/L(1,chi) chi quad character mod 4 Shanksc = onequarter * (2 + logtwo - Euler - derlog + sumderlogs); \\ Shanks c constant gammaSB = 1 - 2 * Shanksc; \\ Moree gamma_SB gammaNH = gammaSB - derlog; \\ Moree gamma_NH; Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH ;\\or Cilleruelo constant \\gammaS = Shanksc; log_gauss_constant = 0.5 * (Euler - logtwo - derlog); gauss_constant = exp(log_gauss_constant); gamma41 = Euler - log_gauss_constant + 0.5*sumderlogs; gamma43 = log_gauss_constant + logtwo - 0.5*sumderlogs; /* for 130 000 digits using the result of v4: remark that derlog = L'/L(1,chi_{-4}) = (gamma_SB - gamma_NH); this way we get derlog with 130 000 digits; then log(G) = log_gauss_constant = 0.5 * (Euler - logtwo - derlog) and G = exp(log(G)) with 130 000 digits */ \\ OUTPUTS print("------ "); print("RESULTS "); print("------ "); print("Shanks-b = ", Shanksb ); print("Shanks-c = ", Shanksc ); print("gamma_SB = 1 - 2*c = ", gammaSB ); print("gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = ", gammaNH ); print("Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = ", Cilleruelo ); print("Catalan constant = beta(2) = ", catalan ); print("Gauss constant = ", gauss_constant ); print("gamma(4,1) = ", gamma41 ); print("gamma(4,3) = ", gamma43 ); \\print("gamma(4,3) + gamma(4,1) = ", gamma43+gamma41 ); default(format,e); print("verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = ", gamma43+gamma41- (Euler + logtwo) ); default(format,f); resfile = fileopen("Shanks-results.txt", "w"); filewrite(resfile,"************ A. LANGUASCO *************"); filewrite(resfile,"********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants **********"); filewrite(resfile, "********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo **********"); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"required precision = "); filewrite1(resfile,defaultprecision); filewrite1(resfile," --- acceleration level = "); filewrite(resfile, J ); filewrite(resfile,"------"); filewrite(resfile,"RESULTS"); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"Shanks-b = "); filewrite(resfile, Shanksb ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"Shanks-c = "); filewrite(resfile, Shanksc ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"gamma_SB = 1 - 2*c = "); filewrite(resfile, gammaSB ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = "); filewrite(resfile, gammaNH ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = "); filewrite(resfile, Cilleruelo ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"Catalan constant = beta(2) = "); filewrite(resfile, catalan ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"Gauss constant = "); filewrite(resfile, gauss_constant ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"gamma(4,1) = "); filewrite(resfile, gamma41 ); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"gamma(4,3) = "); filewrite(resfile, gamma43 ); filewrite(resfile,"------"); fileflush(resfile); default(format,e); default(realprecision,10); print("accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = ", errC); print("accuracy (b) = ", errB); print("acceleration level = ", J); filewrite(resfile,"------"); filewrite1(resfile,"accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo) = "); filewrite(resfile, errC ); filewrite1(resfile,"accuracy (b) = "); filewrite(resfile, errB ); filewrite(resfile,"------"); fileflush(resfile); elaptimefinalcomp=gettime(); seconds=floor(elaptimefinalcomp/1000)%60; minutes=floor(elaptimefinalcomp/60000); millisec=elaptimefinalcomp- minutes*60000 - seconds*1000; print("b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): ", minutes, " min, ", seconds, " sec, ", millisec, " millisec"); print("****** END PROGRAM ********"); filewrite1(resfile,"b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): "); filewrite1(resfile, minutes); filewrite1(resfile, " min, "); filewrite1(resfile, seconds); filewrite1(resfile, " sec, "); filewrite1(resfile, millisec); filewrite(resfile, " millisec"); filewrite(resfile, "****** END PROGRAM ********"); fileclose(resfile); default(format,f); } /**** RESULTS **** ------------------------------------------ mac arm gp2c languasc@zygalski Shanks % gp2c-run -pmy_ -g -W ShanksB-v5.gp Warning:ShanksB-v4.Warning:ShanksB-v5.gp:43: variable undeclared f Warning:ShanksB-v5.gp:126: variable undeclared e Reading GPRC: /Users/languasc/.gprc GPRC Done. GP/PARI CALCULATOR Version 2.15.5 (released) arm64 running darwin (aarch64/GMP-6.3.0 kernel) 64-bit version compiled: Mar 2 2024, Apple clang version 15.0.0 (clang-1500.1.0.2.5) threading engine: pthread (readline v8.1 enabled, extended help enabled) Copyright (C) 2000-2022 The PARI Group PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER. Type ? for help, \q to quit. Type ?18 for how to get moral (and possibly technical) support. parisizemax = 2048000000, primelimit = 500000, nbthreads = 8 ? for(i=1,10,print("# digits = ",i*100);init_ShanksB_v5(); shanks(i*100); print("-------")) # digits = 100 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 100 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.76422365358922066299069873125009232811679054139340951472168667374961464165873285883840150501313123372193726912 Shanks-c = 0.58194865931729079792814988450236755930483287307177252182342129926525123155595034614301236131492413496000431762 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.16389731863458159585629976900473511860966574614354504364684259853050246311190069228602472262984826992000863523 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.40950690341189576824511639518379763704319952909847166323489097668272569278063768892127298507044605287751743958 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.066275634213060706422591211654864715942532471463592357099703591104903593837937353692354893770242426528704447878 Catalan constant = beta(2) = 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977625476947935651292611510624857442262 Gauss constant = 0.83462684167407318628142973279904680899399301349034700244982737010368199270952641186969116035127532412906785035 gamma(4,1) = 0.98672256831342862885162848526620006808535886503839526204065821156759341955830235985822004836219280239214888683 gamma(4,3) = 0.28364027714804954117211572627437893103230060526178359088578903281066792918905702668459034192597263466448404144 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-115 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 5.462549854 E-155 accuracy (b) = 1.243056789 E-155 acceleration level = 8 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 0 sec, 49 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 200 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 200 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.764223653589220662990698731250092328116790541393409514721686673749614641658732858838401505013131233721937269120792592634187420646780843230633154346293805316051711696361775088199612438249942776834690516235139219 Shanks-c = 0.581948659317290797928149884502367559304832873071772521823421299265251231555950346143012361314924134960004317615854621018698888918472700102775396823189086344140949687085185277805244252754555243557698573115161831 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.163897318634581595856299769004735118609665746143545043646842598530502463111900692286024722629848269920008635231709242037397777836945400205550793646378172688281899374170370555610488505509110487115397146230323663 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.409506903411895768245116395183797637043199529098471663234890976682725692780637688921272985070446052877517439576451014558429313643941839054113727207930538736950505642397667706089336632782614784637140596445963813 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.0662756342130607064225912116548647159425324714635923570997035911049035938379373536923548937702424265287044478783398345217486450367804320548732037163016893964880794039613470651314394067854174244382140002636487121 Catalan constant = beta(2) = 0.915965594177219015054603514932384110774149374281672134266498119621763019776254769479356512926115106248574422619196199579035898803325859059431594737481158406995332028773319460519038727478164087865909024706484152 Gauss constant = 0.834626841674073186281429732799046808993993013490347002449827370103681992709526411869691160351275324129067850352412010086724789007634750392659060526742712560320685998973751521461574107190667714762311244616644052 gamma(4,1) = 0.986722568313428628851628485266200068085358865038395262040658211567593419558302359858220048362192802392148886826258097039389817658428381890337901205575462273204005976140605043827010575575210042884235512454699017 gamma(4,3) = 0.283640277148049541172115726274378931032300605261783590885789032810667929189057026684590341925972634664484041444119671175256206591816291502918943543704537224980221928430703729100970405841276888833982753669400684 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-211 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 4.074155807 E-309 accuracy (b) = 9.271141077 E-310 acceleration level = 9 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 0 sec, 75 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 300 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 300 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.7642236535892206629906987312500923281167905413934095147216866737496146416587328588384015050131312337219372691207925926341874206467808432306331543462938053160517116963617750881996124382499427768346905162351392187196205690532956446704191763497706595699057129386602893858998296105166296089099177929836072973697201 Shanks-c = 0.5819486593172907979281498845023675593048328730717725218234212992652512315559503461430123613149241349600043176158546210186988889184727001027753968231890863441409496870851852778052442527545552435576985731151618325769433906813896174097692829126465472987613761817889871255954483968772622724862125696547112936131347 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.1638973186345815958562997690047351186096657461435450436468425985305024631119006922860247226298482699200086352317092420373977778369454002055507936463781726882818993741703705556104885055091104871153971462303236651538867813627792348195385658252930945975227523635779742511908967937545245449724251393094225872262693 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.4095069034118957682451163951837976370431995290984716632348909766827256927806376889212729850704460528775174395764510145584293136439418390541137272079305387369505056423976677060893366327826147846371405964459638160541722170767370630958759234667576466954699337298261500396035874989534057296535534665446368319890116 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.06627563421306070642259121165486471594253247146359235709970359110490359383793735369235489377024242652870444787833983452174864503678043205487320371630168939648807940396134706513143940678541742443821400026364870692818290485281859261742319355737280480237936947585579908372253225650205151137040684413329886404915738 Catalan constant = beta(2) = 0.9159655941772190150546035149323841107741493742816721342664981196217630197762547694793565129261151062485744226191961995790358988033258590594315947374811584069953320287733194605190387274781640878659090247064841521630002287276409423882599577415088163974702524820115607076448838078733704899008647751132259971343407 Gauss constant = 0.8346268416740731862814297327990468089939930134903470024498273701036819927095264118696911603512753241290678503524120100867247890076347503926590605267427125603206859989737515214615741071906677147623112446166440518713839678451402838692004513813358907585530204984800528044693164358093689789568906891741207372910941 gamma(4,1) = 0.9867225683134286288516284852662000680853588650383952620406582115675934195583023598582200483621928023921488868262580970393898176584283818903379012055754622732040059761406050438270105755752100428842355124546990200023378879299702148724874520879571482034547274749118557796335088537395524236831577919661558907645469 gamma(4,3) = 0.2836402771480495411721157262743789310323006052617835908857890328106679291890570266845903419259726346644840414441196711752562065918162915029189435437045372249802219284307037291009704058412768888339827536694006819010669033984356184790561416887670874440559492206268570557227791437006985095042614854991035983964892 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-327 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 4.074155807 E-309 accuracy (b) = 9.271141077 E-310 acceleration level = 9 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 0 sec, 158 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 400 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 400 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.76422365358922066299069873125009232811679054139340951472168667374961464165873285883840150501313123372193726912079259263418742064678084323063315434629380531605171169636177508819961243824994277683469051623513921871962056905329564467041917634977065956990571293866028938589982961051662960890991779298360729736972006403169851286365173473921065768550978681981674707359066921830288751501689624646710918081710618090087 Shanks-c = 0.58194865931729079792814988450236755930483287307177252182342129926525123155595034614301236131492413496000431761585462101869888891847270010277539682318908634414094968708518527780524425275455524355769857311516183257694339068138961740976928291264654729876137618178898712559544839687726227248621256965471129361313465618905511583781476013018287450942974140210070253128486315631570877700369982091326851782739590228260 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.16389731863458159585629976900473511860966574614354504364684259853050246311190069228602472262984826992000863523170924203739777783694540020555079364637817268828189937417037055561048850550911048711539714623032366515388678136277923481953856582529309459752275236357797425119089679375452454497242513930942258722626931237811023167562952026036574901885948280420140506256972631263141755400739964182653703565479180456521 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.40950690341189576824511639518379763704319952909847166323489097668272569278063768892127298507044605287751743957645101455842931364394183905411372720793053873695050564239766770608933663278261478463714059644596381605417221707673706309587592346675764669546993372982615003960358749895340572965355346654463683198901164277373830721658301509800450775903568178355654058701953776972235458032126643678306390629824785653395 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.066275634213060706422591211654864715942532471463592357099703591104903593837937353692354893770242426528704447878339834521748645036780432054873203716301689396488079403961347065131439406785417424438214000263648706928182904852818592617423193557372804802379369475855799083722532256502051511370406844133298864049157382705980840048177095845742657641382086662810357802802569275864239755085201041412208234783860089098850 Catalan constant = beta(2) = 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977625476947935651292611510624857442261919619957903589880332585905943159473748115840699533202877331946051903872747816408786590902470648415216300022872764094238825995774150881639747025248201156070764488380787337048990086477511322599713434074854075532307685653357680958352602193823239508007206803557610482357339423191498298361899770690364042 Gauss constant = 0.83462684167407318628142973279904680899399301349034700244982737010368199270952641186969116035127532412906785035241201008672478900763475039265906052674271256032068599897375152146157410719066771476231124461664405187138396784514028386920045138133589075855302049848005280446931643580936897895689068917412073729109406655817518702547740107467837971652635675333190654545251769296103056005406849466254896421861429472075 gamma(4,1) = 0.98672256831342862885162848526620006808535886503839526204065821156759341955830235985822004836219280239214888682625809703938981765842838189033790120557546227320400597614060504382701057557521004288423551245469902000233788792997021487248745208795714820345472747491185577963350885373955242368315779196615589076454691010513756122955043561175864730814736688636452482189712497476078567431862780933612479562951545670643 gamma(4,3) = 0.28364027714804954117211572627437893103230060526178359088578903281066792918905702668459034192597263466448404144411967117525620659181629150291894354370453722498022192843070372910097040584127688883398275366940068190106690339843561847905614168876708744405594922062685705572277914370069850950426148549910359839648915917043233445493562961483546041274886517346973104404500838053485282216037133660657464439701281180719 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-423 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 2.266324395 E-617 accuracy (b) = 5.157243412 E-618 acceleration level = 10 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 0 sec, 291 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 500 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 500 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.764223653589220662990698731250092328116790541393409514721686673749614641658732858838401505013131233721937269120792592634187420646780843230633154346293805316051711696361775088199612438249942776834690516235139218719620569053295644670419176349770659569905712938660289385899829610516629608909917792983607297369720064031698512863651734739210657685509786819816747073590669218302887515016896246467109180817106180900865174937990824204505706662048986127577133338954843250830356829504077215975241214309424709531157655594 Shanks-c = 0.581948659317290797928149884502367559304832873071772521823421299265251231555950346143012361314924134960004317615854621018698888918472700102775396823189086344140949687085185277805244252754555243557698573115161832576943390681389617409769282912646547298761376181788987125595448396877262272486212569654711293613134656189055115837814760130182874509429741402100702531284863156315708777003699820913268517827395902282603981409959091190223211449426767344884346649403838228765186115603909166480640110695342567127483246762 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.163897318634581595856299769004735118609665746143545043646842598530502463111900692286024722629848269920008635231709242037397777836945400205550793646378172688281899374170370555610488505509110487115397146230323665153886781362779234819538565825293094597522752363577974251190896793754524544972425139309422587226269312378110231675629520260365749018859482804201405062569726312631417554007399641826537035654791804565207962819918182380446422898853534689768693298807676457530372231207818332961280221390685134254966493525 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.409506903411895768245116395183797637043199529098471663234890976682725692780637688921272985070446052877517439576451014558429313643941839054113727207930538736950505642397667706089336632782614784637140596445963816054172217076737063095875923466757646695469933729826150039603587498953405729653553466544636831989011642773738307216583015098004507759035681783556540587019537769722354580321266436783063906298247856533948567234927806693798447248325060681031642947652614451608889756112069331584647104507761135315424859368 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.0662756342130607064225912116548647159425324714635923570997035911049035938379373536923548937702424265287044478783398345217486450367804320548732037163016893964880794039613470651314394067854174244382140002636487069281829048528185926174231935573728048023793694758557990837225322565020515113704068441332988640491573827059808400481770958457426576413820866628103578028025692758642397550852010414122082347838600890988497006672102373439889738365239985074102853055740034933675123488250208356318310751445502928945901426105 Catalan constant = beta(2) = 0.915965594177219015054603514932384110774149374281672134266498119621763019776254769479356512926115106248574422619196199579035898803325859059431594737481158406995332028773319460519038727478164087865909024706484152163000228727640942388259957741508816397470252482011560707644883807873370489900864775113225997134340748540755323076856533576809583526021938232395080072068035576104823573394231914982983618997706903640418086217941101917532743149978233976105512247795303248753718786658280823605702255941948180975350971132 Gauss constant = 0.834626841674073186281429732799046808993993013490347002449827370103681992709526411869691160351275324129067850352412010086724789007634750392659060526742712560320685998973751521461574107190667714762311244616644051871383967845140283869200451381335890758553020498480052804469316435809368978956890689174120737291094066558175187025477401074678379716526356753331906545452517692961030560054068494662548964218614294720752148653658161076202146037520348775359620856771168292200325359109589899893069833199696977335883739105 gamma(4,1) = 0.986722568313428628851628485266200068085358865038395262040658211567593419558302359858220048362192802392148886826258097039389817658428381890337901205575462273204005976140605043827010575575210042884235512454699020002337887929970214872487452087957148203454727474911855779633508853739552423683157791966155890764546910105137561229550435611758647308147366886364524821897124974760785674318627809336124795629515456706428105071687078045375673351059989820439627248686792169389771305682730406594809021141162658104783539023 gamma(4,3) = 0.283640277148049541172115726274378931032300605261783590885789032810667929189057026684590341925972634664484041444119671175256206591816291502918943543704537224980221928430703729100970405841276888833982753669400681901066903398435618479056141688767087444055949220626857055722779143700698509504261485499103598396489159170432334454935629614835460412748865173469731044045008380534852822160371336606574644397012811807188706638795122262695099777437591417828050254312444103155813550681585100962985640443489270754013287736 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-519 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 2.266324395 E-617 accuracy (b) = 5.157243412 E-618 acceleration level = 10 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 0 sec, 492 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 600 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 600 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.7642236535892206629906987312500923281167905413934095147216866737496146416587328588384015050131312337219372691207925926341874206467808432306331543462938053160517116963617750881996124382499427768346905162351392187196205690532956446704191763497706595699057129386602893858998296105166296089099177929836072973697200640316985128636517347392106576855097868198167470735906692183028875150168962464671091808171061809008651749379908242045057066620489861275771333389548432508303568295040772159752412143094247095311576555940406422912577272407156349121872327255564088999951270513584972855234764594241850599963580093473266941 Shanks-c = 0.5819486593172907979281498845023675593048328730717725218234212992652512315559503461430123613149241349600043176158546210186988889184727001027753968231890863441409496870851852778052442527545552435576985731151618325769433906813896174097692829126465472987613761817889871255954483968772622724862125696547112936131346561890551158378147601301828745094297414021007025312848631563157087770036998209132685178273959022826039814099590911902232114494267673448843466494038382287651861156039091664806401106953425671274832467623399025797437693165634567774050627891980155336605829692649573541496169126420505073246906050709434577 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.1638973186345815958562997690047351186096657461435450436468425985305024631119006922860247226298482699200086352317092420373977778369454002055507936463781726882818993741703705556104885055091104871153971462303236651538867813627792348195385658252930945975227523635779742511908967937545245449724251393094225872262693123781102316756295202603657490188594828042014050625697263126314175540073996418265370356547918045652079628199181823804464228988535346897686932988076764575303722312078183329612802213906851342549664935246798051594875386331269135548101255783960310673211659385299147082992338252841010146493812101418869154 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.4095069034118957682451163951837976370431995290984716632348909766827256927806376889212729850704460528775174395764510145584293136439418390541137272079305387369505056423976677060893366327826147846371405964459638160541722170767370630958759234667576466954699337298261500396035874989534057296535534665446368319890116427737383072165830150980045077590356817835565405870195377697223545803212664367830639062982478565339485672349278066937984472483250606810316429476526144516088897561120693315846471045077611353154248593682846469597321226040446392166259884856702243445603858354482170083364923968493119580347793884471431324 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.06627563421306070642259121165486471594253247146359235709970359110490359383793735369235489377024242652870444787833983452174864503678043205487320371630168939648807940396134706513143940678541742443821400026364870692818290485281859261742319355737280480237936947585579908372253225650205151137040684413329886404915738270598084004817709584574265764138208666281035780280256927586423975508520104141220823478386008909884970066721023734398897383652399850741028530557400349336751234882502083563183107514455029289459014261052058511560842184142843496860352717262430503215504832281112939824135560425889848562616271534461546926 Catalan constant = beta(2) = 0.9159655941772190150546035149323841107741493742816721342664981196217630197762547694793565129261151062485744226191961995790358988033258590594315947374811584069953320287733194605190387274781640878659090247064841521630002287276409423882599577415088163974702524820115607076448838078733704899008647751132259971343407485407553230768565335768095835260219382323950800720680355761048235733942319149829836189977069036404180862179411019175327431499782339761055122477953032487537187866582808236057022559419481809753509711315712615804242723636439850017382875977976530683700929808738874956108936597719409687268444416680462162 Gauss constant = 0.8346268416740731862814297327990468089939930134903470024498273701036819927095264118696911603512753241290678503524120100867247890076347503926590605267427125603206859989737515214615741071906677147623112446166440518713839678451402838692004513813358907585530204984800528044693164358093689789568906891741207372910940665581751870254774010746783797165263567533319065454525176929610305600540684946625489642186142947207521486536581610762021460375203487753596208567711682922003253591095898998930698331996969773358837391049590859674029182469568746916485745191067275740786114381427610580184320345426154937546100957089117521 gamma(4,1) = 0.9867225683134286288516284852662000680853588650383952620406582115675934195583023598582200483621928023921488868262580970393898176584283818903379012055754622732040059761406050438270105755752100428842355124546990200023378879299702148724874520879571482034547274749118557796335088537395524236831577919661558907645469101051375612295504356117586473081473668863645248218971249747607856743186278093361247956295154567064281050716870780453756733510599898204396272486867921693897713056827304065948090211411626581047835390232571673218609148696041759129077523735974923578034868830988133787312318926132026153315723485480446449 gamma(4,3) = 0.2836402771480495411721157262743789310323006052617835908857890328106679291890570266845903419259726346644840414441196711752562065918162915029189435437045372249802219284307037291009704058412768888339827536694006819010669033984356184790561416887670874440559492206268570557227791437006985095042614854991035983964891591704323344549356296148354604127488651734697310440450083805348528221603713366065746443970128118071887066387951222626950997774375914178280502543124441031558135506815851009629856404434892707540132877364052995464880451163798853129866994608759688206142955572242870954660538628075571861580922198466600403 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-616 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 2.266324395 E-617 accuracy (b) = 5.157243412 E-618 acceleration level = 10 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 0 sec, 771 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 700 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 700 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.76422365358922066299069873125009232811679054139340951472168667374961464165873285883840150501313123372193726912079259263418742064678084323063315434629380531605171169636177508819961243824994277683469051623513921871962056905329564467041917634977065956990571293866028938589982961051662960890991779298360729736972006403169851286365173473921065768550978681981674707359066921830288751501689624646710918081710618090086517493799082420450570666204898612757713333895484325083035682950407721597524121430942470953115765559404064229125772724071563491218723272555640889999512705135849728552347645942418505999635800934732669411548076911671455813028066898593167493626295259560163215843892463887558347193993864581698751045893519 Shanks-c = 0.58194865931729079792814988450236755930483287307177252182342129926525123155595034614301236131492413496000431761585462101869888891847270010277539682318908634414094968708518527780524425275455524355769857311516183257694339068138961740976928291264654729876137618178898712559544839687726227248621256965471129361313465618905511583781476013018287450942974140210070253128486315631570877700369982091326851782739590228260398140995909119022321144942676734488434664940383822876518611560390916648064011069534256712748324676233990257974376931656345677740506278919801553366058296926495735414961691264205050732469060507094345768070618922051400094169790512643606209154519080565261452589970962704163806852842307988522555973848142 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.16389731863458159585629976900473511860966574614354504364684259853050246311190069228602472262984826992000863523170924203739777783694540020555079364637817268828189937417037055561048850550911048711539714623032366515388678136277923481953856582529309459752275236357797425119089679375452454497242513930942258722626931237811023167562952026036574901885948280420140506256972631263141755400739964182653703565479180456520796281991818238044642289885353468976869329880767645753037223120781833296128022139068513425496649352467980515948753863312691355481012557839603106732116593852991470829923382528410101464938121014188691536141237844102800188339581025287212418309038161130522905179941925408327613705684615977045111947696284 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.40950690341189576824511639518379763704319952909847166323489097668272569278063768892127298507044605287751743957645101455842931364394183905411372720793053873695050564239766770608933663278261478463714059644596381605417221707673706309587592346675764669546993372982615003960358749895340572965355346654463683198901164277373830721658301509800450775903568178355654058701953776972235458032126643678306390629824785653394856723492780669379844724832506068103164294765261445160888975611206933158464710450776113531542485936828464695973212260404463921662598848567022434456038583544821700833649239684931195803477938844714313238781967748087884495046151621823167428018170368705357095460917146123644822832065274092900394237035833 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.066275634213060706422591211654864715942532471463592357099703591104903593837937353692354893770242426528704447878339834521748645036780432054873203716301689396488079403961347065131439406785417424438214000263648706928182904852818592617423193557372804802379369475855799083722532256502051511370406844133298864049157382705980840048177095845742657641382086662810357802802569275864239755085201041412208234783860089098849700667210237343988973836523998507410285305574003493367512348825020835631831075144550292894590142610520585115608421841428434968603527172624305032155048322811129398241355604258898485626162715344615469256722134571858377956731233030419379197167108054325427654613997971023933159847271369540872182010012047 Catalan constant = beta(2) = 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977625476947935651292611510624857442261919619957903589880332585905943159473748115840699533202877331946051903872747816408786590902470648415216300022872764094238825995774150881639747025248201156070764488380787337048990086477511322599713434074854075532307685653357680958352602193823239508007206803557610482357339423191498298361899770690364041808621794110191753274314997823397610551224779530324875371878665828082360570225594194818097535097113157126158042427236364398500173828759779765306837009298087388749561089365977194096872684444166804621624339864838916280448281506273022742073884311722182721904722558705319086857354234985394983099191159674 Gauss constant = 0.83462684167407318628142973279904680899399301349034700244982737010368199270952641186969116035127532412906785035241201008672478900763475039265906052674271256032068599897375152146157410719066771476231124461664405187138396784514028386920045138133589075855302049848005280446931643580936897895689068917412073729109406655817518702547740107467837971652635675333190654545251769296103056005406849466254896421861429472075214865365816107620214603752034877535962085677116829220032535910958989989306983319969697733588373910495908596740291824695687469164857451910672757407861143814276105801843203454261549375461009570891175210684201358033124753921938139023239090952343408874222691843888629942222592633521639478011022099075215 gamma(4,1) = 0.98672256831342862885162848526620006808535886503839526204065821156759341955830235985822004836219280239214888682625809703938981765842838189033790120557546227320400597614060504382701057557521004288423551245469902000233788792997021487248745208795714820345472747491185577963350885373955242368315779196615589076454691010513756122955043561175864730814736688636452482189712497476078567431862780933612479562951545670642810507168707804537567335105998982043962724868679216938977130568273040659480902114116265810478353902325716732186091486960417591290775237359749235780348688309881337873123189261320261533157234854804464490741476970522898588544863904302664899974640131890423856751555256641886797280743637901517888788734761 gamma(4,3) = 0.28364027714804954117211572627437893103230060526178359088578903281066792918905702668459034192597263466448404144411967117525620659181629150291894354370453722498022192843070372910097040584127688883398275366940068190106690339843561847905614168876708744405594922062685705572277914370069850950426148549910359839648915917043233445493562961483546041274886517346973104404500838053485282216037133660657464439701281180718870663879512226269509977743759141782805025431244410315581355068158510096298564044348927075401328773640529954648804511637988531298669946087596882061429555722428709546605386280755718615809221984666004032654810517399872153462415785941677718425823677436903223848756394133799784198744334411848269615277985 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-712 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 7.012791935 E-1234 accuracy (b) = 1.595829577 E-1234 acceleration level = 11 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 1 sec, 229 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 800 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 800 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.764223653589220662990698731250092328116790541393409514721686673749614641658732858838401505013131233721937269120792592634187420646780843230633154346293805316051711696361775088199612438249942776834690516235139218719620569053295644670419176349770659569905712938660289385899829610516629608909917792983607297369720064031698512863651734739210657685509786819816747073590669218302887515016896246467109180817106180900865174937990824204505706662048986127577133338954843250830356829504077215975241214309424709531157655594040642291257727240715634912187232725556408899995127051358497285523476459424185059996358009347326694115480769116714558130280668985931674936262952595601632158438924638875583471939938645816987510458935187779458727552264487099435055959436712999777806698805645559213006908522428676911022645275314558160881 Shanks-c = 0.581948659317290797928149884502367559304832873071772521823421299265251231555950346143012361314924134960004317615854621018698888918472700102775396823189086344140949687085185277805244252754555243557698573115161832576943390681389617409769282912646547298761376181788987125595448396877262272486212569654711293613134656189055115837814760130182874509429741402100702531284863156315708777003699820913268517827395902282603981409959091190223211449426767344884346649403838228765186115603909166480640110695342567127483246762339902579743769316563456777405062789198015533660582969264957354149616912642050507324690605070943457680706189220514000941697905126436062091545190805652614525899709627041638068528423079885225559738481402402405412034511090804501171842067490595634040787183131506108583872610754851010795063738130212430662 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.163897318634581595856299769004735118609665746143545043646842598530502463111900692286024722629848269920008635231709242037397777836945400205550793646378172688281899374170370555610488505509110487115397146230323665153886781362779234819538565825293094597522752363577974251190896793754524544972425139309422587226269312378110231675629520260365749018859482804201405062569726312631417554007399641826537035654791804565207962819918182380446422898853534689768693298807676457530372231207818332961280221390685134254966493524679805159487538633126913554810125578396031067321165938529914708299233825284101014649381210141886915361412378441028001883395810252872124183090381611305229051799419254083276137056846159770451119476962804804810824069022181609002343684134981191268081574366263012217167745221509702021590127476260424861323 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.409506903411895768245116395183797637043199529098471663234890976682725692780637688921272985070446052877517439576451014558429313643941839054113727207930538736950505642397667706089336632782614784637140596445963816054172217076737063095875923466757646695469933729826150039603587498953405729653553466544636831989011642773738307216583015098004507759035681783556540587019537769722354580321266436783063906298247856533948567234927806693798447248325060681031642947652614451608889756112069331584647104507761135315424859368284646959732122604044639216625988485670224344560385835448217008336492396849311958034779388447143132387819677480878844950461516218231674280181703687053570954609171461236448228320652740929003942370358303423281018249912933366636873732714971711813818329476356151093438190506790447447480458005940578652998 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.0662756342130607064225912116548647159425324714635923570997035911049035938379373536923548937702424265287044478783398345217486450367804320548732037163016893964880794039613470651314394067854174244382140002636487069281829048528185926174231935573728048023793694758557990837225322565020515113704068441332988640491573827059808400481770958457426576413820866628103578028025692758642397550852010414122082347838600890988497006672102373439889738365239985074102853055740034933675123488250208356318310751445502928945901426105205851156084218414284349686035271726243050321550483228111293982413556042588984856261627153446154692567221345718583779567312330304193791971671080543254276546139979710239331598472713695408721820100121072081896432867999487921852072471117291044415691774122580900588508772566894716249023909035751989576316 Catalan constant = beta(2) = 0.915965594177219015054603514932384110774149374281672134266498119621763019776254769479356512926115106248574422619196199579035898803325859059431594737481158406995332028773319460519038727478164087865909024706484152163000228727640942388259957741508816397470252482011560707644883807873370489900864775113225997134340748540755323076856533576809583526021938232395080072068035576104823573394231914982983618997706903640418086217941101917532743149978233976105512247795303248753718786658280823605702255941948180975350971131571261580424272363643985001738287597797653068370092980873887495610893659771940968726844441668046216243398648389162804482815062730227420738843117221827219047225587053190868573542349853949830991911596738846450861515249962423704374517773723517754407085384644013217483929999475724461997549619758706400747 Gauss constant = 0.834626841674073186281429732799046808993993013490347002449827370103681992709526411869691160351275324129067850352412010086724789007634750392659060526742712560320685998973751521461574107190667714762311244616644051871383967845140283869200451381335890758553020498480052804469316435809368978956890689174120737291094066558175187025477401074678379716526356753331906545452517692961030560054068494662548964218614294720752148653658161076202146037520348775359620856771168292200325359109589899893069833199696977335883739104959085967402918246956874691648574519106727574078611438142761058018432034542615493754610095708911752106842013580331247539219381390232390909523434088742226918438886299422225926335216394780110220990752149069396430836038257717941194870596739642726558350848321693971336950595116238828151547470228642077758 gamma(4,1) = 0.986722568313428628851628485266200068085358865038395262040658211567593419558302359858220048362192802392148886826258097039389817658428381890337901205575462273204005976140605043827010575575210042884235512454699020002337887929970214872487452087957148203454727474911855779633508853739552423683157791966155890764546910105137561229550435611758647308147366886364524821897124974760785674318627809336124795629515456706428105071687078045375673351059989820439627248686792169389771305682730406594809021141162658104783539023257167321860914869604175912907752373597492357803486883098813378731231892613202615331572348548044644907414769705228985885448639043026648999746401318904238567515552566418867972807436379015178887887347582653468757357207511522068474232933256121419195572896684698930139708246230317477717491957773447653154 gamma(4,3) = 0.283640277148049541172115726274378931032300605261783590885789032810667929189057026684590341925972634664484041444119671175256206591816291502918943543704537224980221928430703729100970405841276888833982753669400681901066903398435618479056141688767087444055949220626857055722779143700698509504261485499103598396489159170432334454935629614835460412748865173469731044045008380534852822160371336606574644397012811807188706638795122262695099777437591417828050254312444103155813550681585100962985640443489270754013287736405299546488045116379885312986699460875968820614295557224287095466053862807557186158092219846660040326548105173998721534624157859416777184258236774369032238487563941337997841987443344118482696152779878253470420417563714524244563409270522519706155219327395507519315338659309623606077791873474150856295 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-828 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 7.012791935 E-1234 accuracy (b) = 1.595829577 E-1234 acceleration level = 11 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 1 sec, 907 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 900 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 900 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.7642236535892206629906987312500923281167905413934095147216866737496146416587328588384015050131312337219372691207925926341874206467808432306331543462938053160517116963617750881996124382499427768346905162351392187196205690532956446704191763497706595699057129386602893858998296105166296089099177929836072973697200640316985128636517347392106576855097868198167470735906692183028875150168962464671091808171061809008651749379908242045057066620489861275771333389548432508303568295040772159752412143094247095311576555940406422912577272407156349121872327255564088999951270513584972855234764594241850599963580093473266941154807691167145581302806689859316749362629525956016321584389246388755834719399386458169875104589351877794587275522644870994350559594367129997778066988056455592130069085224286769110226452753145581608811629699702987693709438842208949529079162636352779143228615686328421594489934718374832290415586381495 Shanks-c = 0.5819486593172907979281498845023675593048328730717725218234212992652512315559503461430123613149241349600043176158546210186988889184727001027753968231890863441409496870851852778052442527545552435576985731151618325769433906813896174097692829126465472987613761817889871255954483968772622724862125696547112936131346561890551158378147601301828745094297414021007025312848631563157087770036998209132685178273959022826039814099590911902232114494267673448843466494038382287651861156039091664806401106953425671274832467623399025797437693165634567774050627891980155336605829692649573541496169126420505073246906050709434576807061892205140009416979051264360620915451908056526145258997096270416380685284230798852255597384814024024054120345110908045011718420674905956340407871831315061085838726107548510107950637381302124306617244387298242535484662803609721414136978778641567925163366912793012672422988889524307068913854184227 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.1638973186345815958562997690047351186096657461435450436468425985305024631119006922860247226298482699200086352317092420373977778369454002055507936463781726882818993741703705556104885055091104871153971462303236651538867813627792348195385658252930945975227523635779742511908967937545245449724251393094225872262693123781102316756295202603657490188594828042014050625697263126314175540073996418265370356547918045652079628199181823804464228988535346897686932988076764575303722312078183329612802213906851342549664935246798051594875386331269135548101255783960310673211659385299147082992338252841010146493812101418869153614123784410280018833958102528721241830903816113052290517994192540832761370568461597704511194769628048048108240690221816090023436841349811912680815743662630122171677452215097020215901274762604248613234488774596485070969325607219442828273957557283135850326733825586025344845977779048614137827708368454 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.4095069034118957682451163951837976370431995290984716632348909766827256927806376889212729850704460528775174395764510145584293136439418390541137272079305387369505056423976677060893366327826147846371405964459638160541722170767370630958759234667576466954699337298261500396035874989534057296535534665446368319890116427737383072165830150980045077590356817835565405870195377697223545803212664367830639062982478565339485672349278066937984472483250606810316429476526144516088897561120693315846471045077611353154248593682846469597321226040446392166259884856702243445603858354482170083364923968493119580347793884471431323878196774808788449504615162182316742801817036870535709546091714612364482283206527409290039423703583034232810182499129333666368737327149717118138183294763561510934381905067904474474804580059405786529982189526104825496725898341395467635360627435853935593432844592976355600168531261220867366049885010779 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.06627563421306070642259121165486471594253247146359235709970359110490359383793735369235489377024242652870444787833983452174864503678043205487320371630168939648807940396134706513143940678541742443821400026364870692818290485281859261742319355737280480237936947585579908372253225650205151137040684413329886404915738270598084004817709584574265764138208666281035780280256927586423975508520104141220823478386008909884970066721023734398897383652399850741028530557400349336751234882502083563183107514455029289459014261052058511560842184142843496860352717262430503215504832281112939824135560425889848562616271534461546925672213457185837795673123303041937919716710805432542765461399797102393315984727136954087218201001210720818964328679994879218520724711172910444156917741225809005885087725668947162490239090357519895763159414290449072682796407532771014199957672458908133645790353284794546213168674154551954426276870129610 Catalan constant = beta(2) = 0.9159655941772190150546035149323841107741493742816721342664981196217630197762547694793565129261151062485744226191961995790358988033258590594315947374811584069953320287733194605190387274781640878659090247064841521630002287276409423882599577415088163974702524820115607076448838078733704899008647751132259971343407485407553230768565335768095835260219382323950800720680355761048235733942319149829836189977069036404180862179411019175327431499782339761055122477953032487537187866582808236057022559419481809753509711315712615804242723636439850017382875977976530683700929808738874956108936597719409687268444416680462162433986483891628044828150627302274207388431172218272190472255870531908685735423498539498309919115967388464508615152499624237043745177737235177544070853846440132174839299994757244619975496197587064007474870701490937678873045869979860644874974643872062385137123927363049985035392239287879790633644032355 Gauss constant = 0.8346268416740731862814297327990468089939930134903470024498273701036819927095264118696911603512753241290678503524120100867247890076347503926590605267427125603206859989737515214615741071906677147623112446166440518713839678451402838692004513813358907585530204984800528044693164358093689789568906891741207372910940665581751870254774010746783797165263567533319065454525176929610305600540684946625489642186142947207521486536581610762021460375203487753596208567711682922003253591095898998930698331996969773358837391049590859674029182469568746916485745191067275740786114381427610580184320345426154937546100957089117521068420135803312475392193813902323909095234340887422269184388862994222259263352163947801102209907521490693964308360382577179411948705967396427265583508483216939713369505951162388281515474702286420777577537106018880472324890461852530188959702568981801387880489573592934654039463313215833878553285452249 gamma(4,1) = 0.9867225683134286288516284852662000680853588650383952620406582115675934195583023598582200483621928023921488868262580970393898176584283818903379012055754622732040059761406050438270105755752100428842355124546990200023378879299702148724874520879571482034547274749118557796335088537395524236831577919661558907645469101051375612295504356117586473081473668863645248218971249747607856743186278093361247956295154567064281050716870780453756733510599898204396272486867921693897713056827304065948090211411626581047835390232571673218609148696041759129077523735974923578034868830988133787312318926132026153315723485480446449074147697052289858854486390430266489997464013189042385675155525664188679728074363790151788878873475826534687573572075115220684742329332561214191955728966846989301397082462303174777174919577734476531540383514147532908268126161111990646434193269821284311083336534788655640823224404220165145619188111282 gamma(4,3) = 0.2836402771480495411721157262743789310323006052617835908857890328106679291890570266845903419259726346644840414441196711752562065918162915029189435437045372249802219284307037291009704058412768888339827536694006819010669033984356184790561416887670874440559492206268570557227791437006985095042614854991035983964891591704323344549356296148354604127488651734697310440450083805348528221603713366065746443970128118071887066387951222626950997774375914178280502543124441031558135506815851009629856404434892707540132877364052995464880451163798853129866994608759688206142955572242870954660538628075571861580922198466600403265481051739987215346241578594167771842582367743690322384875639413379978419874433441184826961527798782534704204175637145242445634092705225197061552193273955075193153386593096236060777918734741508562948949445455156559818030375605254173215475087834985731064294339061488335140346221376149789860823812904 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-924 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 7.012791935 E-1234 accuracy (b) = 1.595829577 E-1234 acceleration level = 11 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 2 sec, 654 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- # digits = 1000 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 1000 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.76422365358922066299069873125009232811679054139340951472168667374961464165873285883840150501313123372193726912079259263418742064678084323063315434629380531605171169636177508819961243824994277683469051623513921871962056905329564467041917634977065956990571293866028938589982961051662960890991779298360729736972006403169851286365173473921065768550978681981674707359066921830288751501689624646710918081710618090086517493799082420450570666204898612757713333895484325083035682950407721597524121430942470953115765559404064229125772724071563491218723272555640889999512705135849728552347645942418505999635800934732669411548076911671455813028066898593167493626295259560163215843892463887558347193993864581698751045893518777945872755226448709943505595943671299977780669880564555921300690852242867691102264527531455816088116296997029876937094388422089495290791626363527791432286156863284215944899347183748322904155863814951281527102068249218645827978145098870379211809629840943604891233924014852514327407923660178532707079 Shanks-c = 0.58194865931729079792814988450236755930483287307177252182342129926525123155595034614301236131492413496000431761585462101869888891847270010277539682318908634414094968708518527780524425275455524355769857311516183257694339068138961740976928291264654729876137618178898712559544839687726227248621256965471129361313465618905511583781476013018287450942974140210070253128486315631570877700369982091326851782739590228260398140995909119022321144942676734488434664940383822876518611560390916648064011069534256712748324676233990257974376931656345677740506278919801553366058296926495735414961691264205050732469060507094345768070618922051400094169790512643606209154519080565261452589970962704163806852842307988522555973848140240240541203451109080450117184206749059563404078718313150610858387261075485101079506373813021243066172443872982425354846628036097214141369787786415679251633669127930126724229888895243070689138541842269946949144129097633702122590704356580461700073745520675960896930000312959232114835604182359003627002 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.16389731863458159585629976900473511860966574614354504364684259853050246311190069228602472262984826992000863523170924203739777783694540020555079364637817268828189937417037055561048850550911048711539714623032366515388678136277923481953856582529309459752275236357797425119089679375452454497242513930942258722626931237811023167562952026036574901885948280420140506256972631263141755400739964182653703565479180456520796281991818238044642289885353468976869329880767645753037223120781833296128022139068513425496649352467980515948753863312691355481012557839603106732116593852991470829923382528410101464938121014188691536141237844102800188339581025287212418309038161130522905179941925408327613705684615977045111947696280480481082406902218160900234368413498119126808157436626301221716774522150970202159012747626042486132344887745964850709693256072194428282739575572831358503267338255860253448459777790486141378277083684539893898288258195267404245181408713160923400147491041351921793860000625918464229671208364718007254003 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.40950690341189576824511639518379763704319952909847166323489097668272569278063768892127298507044605287751743957645101455842931364394183905411372720793053873695050564239766770608933663278261478463714059644596381605417221707673706309587592346675764669546993372982615003960358749895340572965355346654463683198901164277373830721658301509800450775903568178355654058701953776972235458032126643678306390629824785653394856723492780669379844724832506068103164294765261445160888975611206933158464710450776113531542485936828464695973212260404463921662598848567022434456038583544821700833649239684931195803477938844714313238781967748087884495046151621823167428018170368705357095460917146123644822832065274092900394237035830342328101824991293336663687373271497171181381832947635615109343819050679044744748045800594057865299821895261048254967258983413954676353606274358539355934328445929763556001685312612208673660498850107791577724241048412538474845702636472578208846605768038435865637079011652766824864624583590994025822959 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.066275634213060706422591211654864715942532471463592357099703591104903593837937353692354893770242426528704447878339834521748645036780432054873203716301689396488079403961347065131439406785417424438214000263648706928182904852818592617423193557372804802379369475855799083722532256502051511370406844133298864049157382705980840048177095845742657641382086662810357802802569275864239755085201041412208234783860089098849700667210237343988973836523998507410285305574003493367512348825020835631831075144550292894590142610520585115608421841428434968603527172624305032155048322811129398241355604258898485626162715344615469256722134571858377956731233030419379197167108054325427654613997971023933159847271369540872182010012107208189643286799948792185207247111729104441569177412258090058850877256689471624902390903575198957631594142904490726827964075327710141999576724589081336457903532847945462131686741545519544262768701296095323307853448905967419271157597872096177808405068478509862275444839607275188215145060621792013012678 Catalan constant = beta(2) = 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977625476947935651292611510624857442261919619957903589880332585905943159473748115840699533202877331946051903872747816408786590902470648415216300022872764094238825995774150881639747025248201156070764488380787337048990086477511322599713434074854075532307685653357680958352602193823239508007206803557610482357339423191498298361899770690364041808621794110191753274314997823397610551224779530324875371878665828082360570225594194818097535097113157126158042427236364398500173828759779765306837009298087388749561089365977194096872684444166804621624339864838916280448281506273022742073884311722182721904722558705319086857354234985394983099191159673884645086151524996242370437451777372351775440708538464401321748392999947572446199754961975870640074748707014909376788730458699798606448749746438720623851371239273630499850353922392878797906336440323547845358519277777872709060830319943013323167124761587097924554791190921262018548039639342434956537597 Gauss constant = 0.83462684167407318628142973279904680899399301349034700244982737010368199270952641186969116035127532412906785035241201008672478900763475039265906052674271256032068599897375152146157410719066771476231124461664405187138396784514028386920045138133589075855302049848005280446931643580936897895689068917412073729109406655817518702547740107467837971652635675333190654545251769296103056005406849466254896421861429472075214865365816107620214603752034877535962085677116829220032535910958989989306983319969697733588373910495908596740291824695687469164857451910672757407861143814276105801843203454261549375461009570891175210684201358033124753921938139023239090952343408874222691843888629942222592633521639478011022099075214906939643083603825771794119487059673964272655835084832169397133695059511623882815154747022864207775775371060188804723248904618525301889597025689818013878804895735929346540394633132158338785532854522493441641765173202349682703374720941476496496460623737943995705190866698254812596246577649588938836849 gamma(4,1) = 0.98672256831342862885162848526620006808535886503839526204065821156759341955830235985822004836219280239214888682625809703938981765842838189033790120557546227320400597614060504382701057557521004288423551245469902000233788792997021487248745208795714820345472747491185577963350885373955242368315779196615589076454691010513756122955043561175864730814736688636452482189712497476078567431862780933612479562951545670642810507168707804537567335105998982043962724868679216938977130568273040659480902114116265810478353902325716732186091486960417591290775237359749235780348688309881337873123189261320261533157234854804464490741476970522898588544863904302664899974640131890423856751555256641886797280743637901517888788734758265346875735720751152206847423293325612141919557289668469893013970824623031747771749195777344765315403835141475329082681261611119906464341932698212843110833365347886556408232244042201651456191881112822440758426746444849311762102895402287118701474025812078748176628270389062786197610330984017760211430 gamma(4,3) = 0.28364027714804954117211572627437893103230060526178359088578903281066792918905702668459034192597263466448404144411967117525620659181629150291894354370453722498022192843070372910097040584127688883398275366940068190106690339843561847905614168876708744405594922062685705572277914370069850950426148549910359839648915917043233445493562961483546041274886517346973104404500838053485282216037133660657464439701281180718870663879512226269509977743759141782805025431244410315581355068158510096298564044348927075401328773640529954648804511637988531298669946087596882061429555722428709546605386280755718615809221984666004032654810517399872153462415785941677718425823677436903223848756394133799784198744334411848269615277987825347042041756371452424456340927052251970615521932739550751931533865930962360607779187347415085629489494454551565598180303756052541732154750878349857310642943390614883351403462213761497898608238129044698174184843440991768788511730588611027942586604276236456083455004839801902613198861762482455326459 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-1020 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 7.012791935 E-1234 accuracy (b) = 1.595829577 E-1234 acceleration level = 11 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 0 min, 2 sec, 483 millisec ****** END PROGRAM ******** ------- ---------------------------------------------------------------------- gp2c-run -pmy_ -g -W ShanksB-v5.gp output50000.txt GP/PARI CALCULATOR Version 2.15.5 (released) arm64 running darwin (aarch64/GMP-6.3.0 kernel) 64-bit version compiled: Mar 2 2024, Apple clang version 15.0.0 (clang-1500.1.0.2.5) threading engine: pthread (readline v8.1 disabled, extended help enabled) Copyright (C) 2000-2022 The PARI Group PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER. Type ? for help, \q to quit. Type ?18 for how to get moral (and possibly technical) support. parisizemax = 2048000000, primelimit = 500000, nbthreads = 8 ************ A. LANGUASCO ************* ********* COMPUTATION of gamma_SB-Shanks B and C constants ********** ********* and also gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo ********** ********* gauss_constant/gamma41/gamma43 ********** WARNING: for large accuracy you MUST increase the pari stack size (parisizemax) !!!! Starting computation of B/C/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo : ------ Requested precision = 5000 ------ RESULTS ------ Shanks-b = 0.764223653589220662990698731250092328116790541393409514721686673749614641658732858838401505013131233721937269120792592634187420646780843230633154346293805316051711696361775088199612438249942776834690516235139218719620569053295644670419176349770659569905712938660289385899829610516629608909917792983607297369720064031698512863651734739210657685509786819816747073590669218302887515016896246467109180817106180900865174937990824204505706662048986127577133338954843250830356829504077215975241214309424709531157655594040642291257727240715634912187232725556408899995127051358497285523476459424185059996358009347326694115480769116714558130280668985931674936262952595601632158438924638875583471939938645816987510458935187779458727552264487099435055959436712999777806698805645559213006908522428676911022645275314558160881162969970298769370943884220894952907916263635277914322861568632842159448993471837483229041558638149512815271020682492186458279781450988703792118096298409436048912339240148525143274079236601785327070788115849440450925395197181570857809076907721929625522628905299672005106696385842076550816605271325517611500936190101821520395416217444743565713140264960514803224391344575280097396049671907346673986211270347706230947864637217772455511916096933495801165015381468977329474002542726995183738812940043904650503100912103619805357609522288358476697432675077573798489393566454060172519625138266718638288226296573994386264530789135145551132064759479132455824236624051260703825609019846145751529515119432113568144167160089743843918474025908264950136028340072606341086597963825967841363733776808578312791471064173705733370401460247376482007682311184905586789941069957439224570896669104915340895001394198909657858533685319856640423504947463298044815935738386874142769156111347786122908939764321342798792064723814932905462648249077660308813487053317233364072989942456566114240368248128739597909157997810627234464263572332341278347808360224242129012031996984859514292168788407156268870345174368956391170726579354070507941411003433955827964097838915830204075481896232482804782954652392238721943339818512510047479156582477820966454281324056205048416296326891576641495949574635056894865872892434137391006083933471084552936569829353385218143587469929348633135658203071920529616657757572666274084558371279467991809047102594525199680163726312670380234472983095156886841014308495941087978070135615240498479097143623310595691794314316914021110491429859630535167716000848672608953185752932821837545589546664461914682523148747449964010744026646860095724486716875826053117065634484948008410132356163452983556618833979361634409833294153516624736686965890175099275104261794024652288348830712747362586651276506105460289649112872878627382635961293336465321914621936443753759860522241033484221354613381281267721312458901010733718335072284015296411741799639034136644239190278952584868829596896954147337711408866087359627758768013524000292179235285529030645080422697914589981015321408529065228511559265622688430973822972916716439805149548683772971172637775658891968711605090212113716519023410896592937302494657711750042828063725427118056100865821993536712428498385161328649904277112840716987878330063972849228203443494553476002180037593571032050644067567318178337170352783158240411871546865811718649527089962243484977938848328194978635691634373331742072100170543018669963365463453566888032485280837544925451779379094807195712925371841116341373037453511588085360583879472440060761773812121027892341933012976546675485059966637776434983728213408980929028892780884283566579963528497761419255297245717248675871364182013982448392172723276433986507092450088203374994154704022448605169204954038089279897110517177686673044085451866662252351921180216358929191678509768014266493524652413152793517208474053773575780423998408072395815178701929144365934034260414723659453320286842044620870179596785071050443358998852999805646068467872257322149579854973092466221456073553053691221718229807353307970387752924601789470261115223607095014326678881132819908375132688455515108921907910026108599100288418965319068655185973768005491552792390156010381780055390728189681264800227403065810144598936350594962415291184472437314489647908761703260365392901334306847818182069668376017329030166027624984228275788415484563147137449873255734058080596881687875421096138484159475502975839683109958073787235777787421697043414238974244684528681473509932961446845436882649688691921616496703556503668472612363443170609110289645078131163272490117936646107229798205740757791458009083010609132162008972493732010327777447851287643880899816569327150406120902218273935988231870463831228969212161048465469483197927903205150767267321191632182843711720360467133017724015342165693685788877821159989817975415462860002307160001599822482772126283848830479430663285468362239443119776558427949189935225215632375556501452862110593658681713999840637101964041594626482351837821623565891663876645990494586279273776204861601614950042289780986464070471019370479919031686305992972319910324566844 Shanks-c = 0.581948659317290797928149884502367559304832873071772521823421299265251231555950346143012361314924134960004317615854621018698888918472700102775396823189086344140949687085185277805244252754555243557698573115161832576943390681389617409769282912646547298761376181788987125595448396877262272486212569654711293613134656189055115837814760130182874509429741402100702531284863156315708777003699820913268517827395902282603981409959091190223211449426767344884346649403838228765186115603909166480640110695342567127483246762339902579743769316563456777405062789198015533660582969264957354149616912642050507324690605070943457680706189220514000941697905126436062091545190805652614525899709627041638068528423079885225559738481402402405412034511090804501171842067490595634040787183131506108583872610754851010795063738130212430661724438729824253548466280360972141413697877864156792516336691279301267242298888952430706891385418422699469491441290976337021225907043565804617000737455206759608969300003129592321148356041823590036270016824946461703141171212212863054072345347757210427770637137318980770409456808440205084900469616185925798733507553303273919016191331967301603350919338001704226308102598464197440734394830006363100616130000466158645690572240097685951443313436147982311570641538583894907557514962984565489020259052170910978029879804484976753906541553051823842352825370065969419628839808033146987654459805818264531738505307941943407108962369715224952660936249808351659728385852940823256591296437823139906621229658693471340388846786850300127950680772100463607642019139017833490685065736883412107111495585754684708818759869175500032831442535355508083858131258753909033800262149018743526054794278474444253562361514140621854614575141520598659791692796994293654121577634240116261541987083907686460657114674470528429791092861061165163885082232634986327393284887120290225416932648069838093406415281387623708524965081253897555517015252658635435131149432617077766850789965376427703723649701055657063221245482716462823995950195357875403145000070061873406789878781355477677174082186997288650216096179402350741548941539707614739529885467124750052617706431257398693605813093217174455749717772993853820198995757744947954807798639905820147554522881518984920113315406495251212827537253214164250884121905245811788854610726031686047946105235192273514808100933870399751833748974340044110297904497613894565402548514872432105759086036929888016804463079827116593139831889261536076777611184245555402611155813125866000186234050240678163493019127694526612226102748166920303361480786315334236079056858690944981937101884713181074665639939486360581945324409306521811444302008148028066797776924624547321110479996707315006554212307948061265555380161603913875577138067656964076572703666411025334157239839016907439172566621639774072496348062310735609664367300974046703587065648393504567673646008043265471921776892880412626523065500148786608766836052081969606758373798629377879053134950853666858387321126729920806667596265151622066282308925014841121789566700194509612043244005211859349305241874672879799498717083658386202111740127002180036423059953902463276697228636210155176629921229403459038594253087430334715178917911338831240649540184812646572390488376614521249358204002105379632322254500731199498567528681444806683805423688606754473366356410700382992151970186882732795437718542679247334369107305976768554209090383197900113492703254658324578371223798781239203294177271283549743008742174614978204195985761896386619563331484790814781451831051746485129727890127899825861521515814318767000353009378285815538585867775908667646774497539805781256200873062653782921516574644033826640078271551271335234425572160831688377314441389273335372719451860905667330361750770614551796263186611947884745388825311545439590591234953702707890264935138667676581578634027324548825337079784008168676583046639622274674223848149617312135637767439718599601658080563830774678144148907876698167595557522569602622854153386189894482617675448971366083796492973121588129823889337047923063553074034399966050754485241049035613055951830965634093608408748501677026666851281237586202380605755251115697571233569812854307391517948843574046236713199448309772667450753268574046308337837762418696242361896472914555395075695073604336023446228338684000112707191388629365890493567534376412177799047760591559256794010586869079302815364499762460830358513833170205913543110918299175441532918635506716396276132381309643570180501113674084294409219819546595442295539972679159940088711043024573561995093804033377852091803301460187115501648577738232358596887892328026095014345198305472786090878434062882831527708716896758106226497088754347553883855948973228119497417507911309971638777927520818072298010922848395325924616131871262454273164188544970101803803280966194147819461742008249841596911842060248014746399436394405802037689786819833305343333465791278795347764800993810182854781054541888087384772788078600886037718392989982697453968256635133726429187229881161617379368859997164140561766540876987680947250 gamma_SB = 1 - 2*c = -0.163897318634581595856299769004735118609665746143545043646842598530502463111900692286024722629848269920008635231709242037397777836945400205550793646378172688281899374170370555610488505509110487115397146230323665153886781362779234819538565825293094597522752363577974251190896793754524544972425139309422587226269312378110231675629520260365749018859482804201405062569726312631417554007399641826537035654791804565207962819918182380446422898853534689768693298807676457530372231207818332961280221390685134254966493524679805159487538633126913554810125578396031067321165938529914708299233825284101014649381210141886915361412378441028001883395810252872124183090381611305229051799419254083276137056846159770451119476962804804810824069022181609002343684134981191268081574366263012217167745221509702021590127476260424861323448877459648507096932560721944282827395755728313585032673382558602534484597777904861413782770836845398938982882581952674042451814087131609234001474910413519217938600006259184642296712083647180072540033649892923406282342424425726108144690695514420855541274274637961540818913616880410169800939232371851597467015106606547838032382663934603206701838676003408452616205196928394881468789660012726201232260000932317291381144480195371902886626872295964623141283077167789815115029925969130978040518104341821956059759608969953507813083106103647684705650740131938839257679616066293975308919611636529063477010615883886814217924739430449905321872499616703319456771705881646513182592875646279813242459317386942680777693573700600255901361544200927215284038278035666981370131473766824214222991171509369417637519738351000065662885070711016167716262517507818067600524298037487052109588556948888507124723028281243709229150283041197319583385593988587308243155268480232523083974167815372921314229348941056859582185722122330327770164465269972654786569774240580450833865296139676186812830562775247417049930162507795111034030505317270870262298865234155533701579930752855407447299402111314126442490965432925647991900390715750806290000140123746813579757562710955354348164373994577300432192358804701483097883079415229479059770934249500105235412862514797387211626186434348911499435545987707640397991515489895909615597279811640295109045763037969840226630812990502425655074506428328501768243810491623577709221452063372095892210470384547029616201867740799503667497948680088220595808995227789130805097029744864211518172073859776033608926159654233186279663778523072153555222368491110805222311626251732000372468100481356326986038255389053224452205496333840606722961572630668472158113717381889963874203769426362149331279878972721163890648818613043622888604016296056133595553849249094642220959993414630013108424615896122531110760323207827751154276135313928153145407332822050668314479678033814878345133243279548144992696124621471219328734601948093407174131296787009135347292016086530943843553785760825253046131000297573217533672104163939213516747597258755758106269901707333716774642253459841613335192530303244132564617850029682243579133400389019224086488010423718698610483749345759598997434167316772404223480254004360072846119907804926553394457272420310353259842458806918077188506174860669430357835822677662481299080369625293144780976753229042498716408004210759264644509001462398997135057362889613367610847377213508946732712821400765984303940373765465590875437085358494668738214611953537108418180766395800226985406509316649156742447597562478406588354542567099486017484349229956408391971523792773239126662969581629562903662103492970259455780255799651723043031628637534000706018756571631077171735551817335293548995079611562512401746125307565843033149288067653280156543102542670468851144321663376754628882778546670745438903721811334660723501541229103592526373223895769490777650623090879181182469907405415780529870277335353163157268054649097650674159568016337353166093279244549348447696299234624271275534879437199203316161127661549356288297815753396335191115045139205245708306772379788965235350897942732167592985946243176259647778674095846127106148068799932101508970482098071226111903661931268187216817497003354053333702562475172404761211510502231395142467139625708614783035897687148092473426398896619545334901506537148092616675675524837392484723792945829110790151390147208672046892456677368000225414382777258731780987135068752824355598095521183118513588021173738158605630728999524921660717027666340411827086221836598350883065837271013432792552264762619287140361002227348168588818439639093190884591079945358319880177422086049147123990187608066755704183606602920374231003297155476464717193775784656052190028690396610945572181756868125765663055417433793516212452994177508695107767711897946456238994835015822619943277555855041636144596021845696790651849232263742524908546328377089940203607606561932388295638923484016499683193823684120496029492798872788811604075379573639666610686666931582557590695529601987620365709562109083776174769545576157201772075436785979965394907936513270267452858374459762323234758737719994328281123533081753975361894499 gamma_NH = gamma_SB - L'/L(1,chi_{-4}) = -0.409506903411895768245116395183797637043199529098471663234890976682725692780637688921272985070446052877517439576451014558429313643941839054113727207930538736950505642397667706089336632782614784637140596445963816054172217076737063095875923466757646695469933729826150039603587498953405729653553466544636831989011642773738307216583015098004507759035681783556540587019537769722354580321266436783063906298247856533948567234927806693798447248325060681031642947652614451608889756112069331584647104507761135315424859368284646959732122604044639216625988485670224344560385835448217008336492396849311958034779388447143132387819677480878844950461516218231674280181703687053570954609171461236448228320652740929003942370358303423281018249912933366636873732714971711813818329476356151093438190506790447447480458005940578652998218952610482549672589834139546763536062743585393559343284459297635560016853126122086736604988501077915777242410484125384748457026364725782088466057680384358656370790116527668248646245835909940258229593846671528095937927304654455993733982503583905784611446765237560099548184705538800725000294352715545774037125785615722884508278162340457791950421658987936879569209615776938433834797186178017844803530253584586248023730886005555188860228784366494197533418902336452541317633060370650707241045302924136163733098715609487486935344075215603035280989285009893980406298543508915405823160872973540190481544768508078725196914774724138744505748149862738820012789293516685530595484606832732913490311189061985374102620150176518526493658520994445950348074100448660704399653012155001553200242478580019928666116784287622471990436161208614207846433159010715995908640346877940468272643575569945635503585658690873669408211026652037707343343162601890551962833755835565212658521410472182509113910003366123520689528712986460086387117259550272998400372300600437845802726791945524362329939514153426633636583773405408002762280882929776821601332692254108231150562870468873423789312253015377169540024883025454446129003589034798126052859017738163754102000650676193797835221307445107907719715262636434934654050595323792459233632812124995651421074875541487352892653739926753019101029699225338072136131386839600031188731335546976219152655361177039111298343476284851516368990299673917583359460381618063266048067532806843402876797076040128809094032048049501791262773683255097103934641890882708478466837248181528410050949238808921299304030725045683388400638787471619789381771607097162458149952000296373385682027061752949434486632653530144401914800002456192197451915874977983033115021368473341791653240523811120143660227184571766928364203529775145563514727384629584647016189792622914975524806814796512377194170963292024690618671484531981824793619234206786731877939388129612008612234424353063760870201683802195128713190940537833787468733143138189246538505069556748732147971358123855243978470159017493801446007521591863386453902415786737083087946416252582908322561934986101388608903109937973597378664928848859589461893816803804487629917102485244565618295892733062863558971603090338048132764526855986117841265276933078725127975219239468794471568436835168202823186825128420336788164142262325254458927179408625703279152064840303549295490634959394480023419297247063283688103198394324360615578250301988587839107458588217043264575034595639569257465617131586478011241739282044384090922826621360949788826567593896062968678221425932418360810946930403706264479313557509181996415768090410721274873690024626208566122241914017479301583441675522265187987995392291406780200901295960768459906098062159928504343410322593261528991247615834146983185322634621288411853128526410721406399843941851890599219722718796428645211709502404334156489339752993040879050834635300824910034966561884806881954001495119328248742608861165228832316762363017189202393686279397062005539689829257338406981449114544586825757225638920603410422346422609486994920753158403626782922769215277851832218145691440547038169210402235860974089010073890791880551791394344801400848971779153450937684968777083884905500048101958358444598561518975633282836682413878054700901529447403107643222516312668134804452487272764184430829638318503198721509568133431931746953927223818707457711689985898683806631449454515620522022170245738818091162017558007814041790557405251809294905573162753322034116861827321638860818219356408713419939969684213363689721953404570672473468825070813915947969169101262294391080810601724997964667371591621466085808472926278849891521111664347610408973470713251057540495769903166954973385481443484770062453000752194110511989929222214845750531280488607715699660962208407675993201950729755836090330288623316876025577792869857525604663657539888680391834829960906616155368083124275557450315641593500156115515988891214897217565727826367061424672893205574578652455653513660952617700881965586725855912445025892891275111621397553578193687725279365415762305065988615351747316016455201863780108032520425316990943315676358737003298161795238488879900928240590364838932168324789778437562392 Cilleruelo = 2*Euler - 1 - 1.5*logtwo -2*gammaNH = -0.0662756342130607064225912116548647159425324714635923570997035911049035938379373536923548937702424265287044478783398345217486450367804320548732037163016893964880794039613470651314394067854174244382140002636487069281829048528185926174231935573728048023793694758557990837225322565020515113704068441332988640491573827059808400481770958457426576413820866628103578028025692758642397550852010414122082347838600890988497006672102373439889738365239985074102853055740034933675123488250208356318310751445502928945901426105205851156084218414284349686035271726243050321550483228111293982413556042588984856261627153446154692567221345718583779567312330304193791971671080543254276546139979710239331598472713695408721820100121072081896432867999487921852072471117291044415691774122580900588508772566894716249023909035751989576315941429044907268279640753277101419995767245890813364579035328479454621316867415455195442627687012960953233078534489059674192711575978720961778084050684785098622754448396072751882151450606217920130126778684017128401819052605020353497220662998202725229645497786728237046896525017297006469080133838966071931593559848351114037816665191597871031966227288185783884344361907641158655506065427955676840722273308936060455374565686642650638296001191617247772504711936759710655027657640110173100202274855819166214064585485699359693808372902693603109821838098372656297550290888380556669306381391728209705815931463178374774531623494868308929665657759110941623827706309122887129957047856682722588931876183287084835730469109785705440243226189490433566272530441826651295483783244778845370031534789407754735306269361212188509300067260301352212543411059096573290638352400190373161737817245729563160693158765312827951204787489173190722433530924914039338739136270032440535228550212355359212938730599027909509504058146597666908465910117786186985107001697271816457075426553796717849925995350635196585471612229974503149291356056054659726971669623886009822521000890503247798629293024189801448792703077921717595598387131759218216601776710460857239426414331095911926027473095256703446144679482725270301860136205088148704957008501948827370133355609338414999161407787687541997024111337608554757714990037892583234369752292621123682938757669988901359508976047210208042950590731767584213908078875613591321140375501396688452576997642011658760900940874894533689867561003351324446277171170685421575697416143969621892788813374202059704008111341261961679423310406038365416179674692391833378422073639114645896239541562611477635638282576876325103631090553266231703193236705316969518135913924965385274665569384316422019212305255847921251412909043830911991219794280473080717447683554062038210474839218850492592948606775310073483934366535432389600687627730277374498324195677140749971411804747195278148374169704639950280779075645562062221955709254102681550492284405607329309142890745603278669208294789273735126113537008129300530419558492336238836876645174449740810547147551988657836681234787085715998270374729677933521925060020965452124670565845863286179326039469281974713769173150415642330607814285893984666912155244603110230097708915603070880675248362009675325054150709068915691628875190808220374491614105111710739338791663739884853843544218306747241961106794544022579069207153803254234194504576763543591577434052214713053802030932362487156423068794066419399544558214991449235212703596757229240090588038083419671800131186286119180520568045310335045056490609285754032035243663788433901202724608565100817466569486804734817274123304827974812019233985487857988516153707314285389466880417891590796326814106117443951885358173707773522243528295867950767556886897166214402930123918485146801750252155368220517115573127014677221238164877030091478171179747447544937013594866579050698009828052739403214706651450037825119307805345366773527871738833336449033135456604351264570423846723977085261644387917495610064278878689705087910139036874202235229091835850483811245333712613641217905304215990293576179774637595985570241139982801238954039533406486548027346220475905462039488850976467712121113152194003590700067066692208233488381561093686324757187263512109926958971649057007733506244246725676780213440912091827612499025900955707095283704092546304291738298842333328551383254675557761285091985348424564181828764562236199576068780493898695258293283398379924719935076977580917517396478922018475657974233909272363251960913264457373265633136393564683892661811658863568842147301852046794549511394855778516951814940289436669141975934018394893469508086414133321686105404792035640558645401789401217838287065539139105275479510343191867060195015219036129552321607239418411498786425190372036378942761614967850150594472480789657197210067031718449464306398253552745146147099015930493275475886035138198733445031314821632846245711693008428814073901291700301995001827391488160777311221798849186553631941006217231380015977426765361578259907024933988454676774634308756049649703266253153145685340474109938458977102581962530228170604510732131948666814740124574686748608838435758 Catalan constant = beta(2) = 0.915965594177219015054603514932384110774149374281672134266498119621763019776254769479356512926115106248574422619196199579035898803325859059431594737481158406995332028773319460519038727478164087865909024706484152163000228727640942388259957741508816397470252482011560707644883807873370489900864775113225997134340748540755323076856533576809583526021938232395080072068035576104823573394231914982983618997706903640418086217941101917532743149978233976105512247795303248753718786658280823605702255941948180975350971131571261580424272363643985001738287597797653068370092980873887495610893659771940968726844441668046216243398648389162804482815062730227420738843117221827219047225587053190868573542349853949830991911596738846450861515249962423704374517773723517754407085384644013217483929999475724461997549619758706400747487070149093767887304586997986064487497464387206238513712392736304998503539223928787979063364403235478453585192777778727090608303199430133231671247615870979245547911909212620185480396393424349565375967394943547300143851807050512507488613285641293449595022987229831628948164616225739894762318195420066071881427594975599589836373037675338533813545031276817240118140721534688316835681686393272936775866739258395406180333878306870649014334860172981069921799565309581871579115539560366890369904939667538437758104931899553855162621962533168040162737521301209406045387950760538271231974679008823691786155733891244172238339381481207759942984917243976685756327180688082799829793788494327249346576074905438748195268130744370462946358928102765317050765479744948399489594770927885911958487241278660840885545978238124922605056100945844866989585768716111717866623368474099493855413210937552818155258815915022282444544417186099465881517664960782236789705192697113125713754543701243296730572468450158193130160877662156509575546796667866170823476825581335186819377456500145652617040960746889539302347919806000842455621751084234717363878793695778784409337922198945753409616474245546224787880029229148036907115270795545505414782688498185246005814466517868142315411487855409966516738539727614697016904391511490089333079184574657620996775481231382015436010988527216297701087615747817356416369857035534067264935196316955476721150777231590044833826051611638343086513979722516174138538129324801194636251880084039819455390551821042460629218521756024654860192976723974051103952645692429786421242403751892678729602717733787383799783266762086119520679121512638211925232940406920599438642746932153388566711733082714240833265920326075316592804231023099735840039594034263222768807011868196176780905631581597845376375783563735902771648831310288769379505350732080180758102238230803176250432942472226839122971295535135510431476188665547436769218412018877161799228562056352205470320069180868806612117420406099241234876051540682022625595048124858941187358346822904230836155547694777708319408748124916748929006593696164166234368370754396383894514401195564873813429212298200130210799619224249244930519992358581580826035249799850591866972201231648971048307017935281122289663551283174373523930114027923898087445696483090132078776587853623013542800016290558772950067958761782473748713780600422084453460450647024432580851647771739031960286555383282814159152487352633071505131478828449992386632431981063365152433113214639009333621591607444829234571774548171695801816889001752856450464891390904203560298360456524252657972701385867576538993029584492586921897886443888193581145267705631606097376846540836942302038168263924585791074048708798778524261408687151785758010060236817034917977336221966295377189138531167399655658859121646280155826298735413763360760730200455912029466573475718527453116338477764868382485041163016052270869444427036442512423639718149992349608389591682580361647498810426394838900429405504315021931268642300599929263615406492626641865835949042493715236220684039403701086807400984400015124653435350672338454694635760211867621143414247611783410431273061167822488339699155390913109732310667811174855376790272318450765457756998874113956861466315813615736740618811259146203974234011258821315690751757549796582296898462313292572731753383023135332328700565956885341752045739327581835139823476780092614265210747104566687631343256672759298919525488490378090465464882685752044546950538134983090214604897183193877808634090141682854845242480931043432177247887782487394860618002334152259141461387827005451709714104576566149289531086724860804842043766379362302136458177980227208827380717367112998222890691257630277791626510357625770381042886803760546363033379403673776967447571719187128039543709664138772266268898373111116020045185939731747646215428384601621445265537202925520515049418280030325502675790382527861396335727206508903678201762585736366024596449145335281410372516838220900971019436802783367089633146724973295039192592985149664144985218733843701245174674218712131102057261743401340568765551041878665445189027650053821786094121053538997849059821800230678908216061413670183936870283045443467805364995664950531808379802079503658352 Gauss constant = 0.834626841674073186281429732799046808993993013490347002449827370103681992709526411869691160351275324129067850352412010086724789007634750392659060526742712560320685998973751521461574107190667714762311244616644051871383967845140283869200451381335890758553020498480052804469316435809368978956890689174120737291094066558175187025477401074678379716526356753331906545452517692961030560054068494662548964218614294720752148653658161076202146037520348775359620856771168292200325359109589899893069833199696977335883739104959085967402918246956874691648574519106727574078611438142761058018432034542615493754610095708911752106842013580331247539219381390232390909523434088742226918438886299422225926335216394780110220990752149069396430836038257717941194870596739642726558350848321693971336950595116238828151547470228642077757753710601888047232489046185253018895970256898180138788048957359293465403946331321583387855328545224934416417651732023496827033747209414764964964606237379439957051908666982548125962465776495889388368485992365411189017490504837785319323332016970056895534269527949656522591691440712533718989871283605282652705310788877986415746880714285132363349955706585164159241908262606339549845864348827078931363082390967437220434580842087307738346482679475197152331746478597653712438272228263231954311739836817821079539242107816783313273533095656482023584565825460564836279530167452398262582723504220166256671818402486313168189187792969542212049101757196085075106858844201730767102408667492711144920904088412131757268261002709591485892572769623193922808548994645936128594734522557112869973628301289234178756660025395220971552551454810467511328914938148018407394784903305080042952463744828221428366721013966075942176793399501825273207819753276434605496999824553994689519587067068339386727318342025784480812767824268457965573220366984271657187184409113540094514027074844640093106297080444683824377405875474810493604461011348533762134305687849293031921110040424810842901352348537310269206343713905334007912336241882284201504403580321299174976797884816704896804726358250985559799985988186958064670880371662368698113531302487616884846859115258187407737403728723368707323846651707183803490851996303220801277270427901677230978957397647160240115820018502810895154331934225555668095902625013638806356733750900152886422306611378111421987550050293430845245916855621247493144225520107062263328132881734912860608708345845489197324468978356848814153016313843435670624732166396406812362503527093774812335463520844348918966133198354326738496326752080510329079510994322418056607631925724340293558660223517800973234536235348928246383901175664232107529211451027625980008171999768528451504191728443523334216985440123487511813092014431776472273139813296105395494814393977203673426345745101500312996611664855878256912980607401095185355559714095036916705107898036880918260750972195965805299757075605874207106344998902706621017515778393586780555045138364087216847932503796899969299231484446771505660635117395128802281672407636628574293824886127678762191718291200721221858697906450013572259636773826576961554038015831577493229850613794131229155458894093030187817171879136437798326043020992397773054495871398268844757799439537675515517319275926629761077143757835491536497144437042879384443070456135663492414985631265990302462564278526668999749713085724380683274894703132699744196301738859445218513535364638896814322731515321884436573886332925840346166431139552471954317136513131103616300568004806727221176542506986016444835281642412519424050617618310559755140972407178488191693170522658957635189211184904575516468413169208692690012818406719737638415865433923402756938299906871031169611758470418410041189096441965393844114714074449043194871838847754664388308413221516055201689235372647362145013968927519415381011264010316335382499869017834599109186267143400256622863641440913098161627402475077119336311543755202973646772223497156221570417667290943040524845636578817117770089650658024378197787494344848317087752301306428119638073851179780632223704094190070156615505604430651523119521145107084927126590665701480207459312470068343135984067897308240526045621277240633404711241800666482672969396688827158755279317835985331595129680861157631248526246714021829023691368879781297266644390302667417546033794985152305119055834464888712560579975971349997008119222146766670882314799394980077080688392282376986696323279166646462279507290624604698859733642357812241226199145679918409406996576444067118637875835871866984031109566253727647997682411150032199875681547220042444698306117287565477258490880578235272456296188702568359000570404838077490314387264911434120133655717578546488895048730979310875519053399090206737244493103572017379060655421116742530126537666703817592999031778174078908702502100048118003008775599135399467611616150072580125777268534182034998712094036869385540555379789388349657271704346374622027009318062589224702468028418080464011487683317116642965191182386229561584792007732973891966331245642988216260178051129396946661499733245408882 gamma(4,1) = 0.986722568313428628851628485266200068085358865038395262040658211567593419558302359858220048362192802392148886826258097039389817658428381890337901205575462273204005976140605043827010575575210042884235512454699020002337887929970214872487452087957148203454727474911855779633508853739552423683157791966155890764546910105137561229550435611758647308147366886364524821897124974760785674318627809336124795629515456706428105071687078045375673351059989820439627248686792169389771305682730406594809021141162658104783539023257167321860914869604175912907752373597492357803486883098813378731231892613202615331572348548044644907414769705228985885448639043026648999746401318904238567515552566418867972807436379015178887887347582653468757357207511522068474232933256121419195572896684698930139708246230317477717491957773447653154038351414753290826812616111199064643419326982128431108333653478865564082322440422016514561918811128224407584267464448493117621028954022871187014740258120787481766282703890627861976103309840177602114300883699969387954569089679329331642038779083749243687611081947874770620421707719875229442160828629026140939679031478267107042796301131701249300557788766164708384104206763323034464114133366732803556079490233938295348094995732382804947988293176006818373873350135682457042462311995778550007011011245597193554560510805283396527614496114565832406525606804781356827364604215513662022171161049152710395295936329843087102620618802496094663753757608532241327288143595327047757004063403349956735386197230690604891713854790825211311575017836995100844798412632444579756142507241846963434302640830871487052840278706410516084513171896993718977220361353355518600737507763631306523781446853627684621478253169359868526740417681347613268869854329337444007220726950282669815978730865703421345518512048879409700473881104561773884664356486940119421002783317027350735458278033018383030613773245251509598721157636552268075783805961528544173548975502946343609520309092860461365940804318691562539565068338868604750282453842409129068070983518231871875764152358032771224885294340901206865354127067471995461868044319588291691574708327600635525467126327533389145426342218721318687128533126716789278400565677795329634339251598949016513131271428138689211695055462076666623919624306420458127255223776468342040971551364489393063066343804501469665208861415092672817584430255159440307170785838172175610138448972836965314908788591223613707945699095158070995370872090144395259441095385115468556301172588559186552704130795742108815077350381641584482609586621641382597669194618616153052403525818429290485796612698472945562142693540622396623448974302873736572028465235761658379962975085839635606083976898380121879130477573814835730620418760816307324372352908647708000401705804589565024696408209465244993788861051749353533352458195827868098416567427246506012432033420132606528518490091498170815719235105001179974377752060513735505105838508480752067231279225491801001539638248563779835091986468031383653025538293219982271664630187497911180775496597915487491737343951843191174022550895884678191449083171231578372776602214967833051124350342703224716661781835475858688061048100190369966618057319019270457776471017739706227842273688841718996445791594100024545595700833357266553916322264456896495640818964681287615881231656539733356183545047139795364645872597514971906169498871798460246916204886185147739468435737684234819563629462732049784764956126842581272369313620308976277404405389669919051377731016830002608883923697733147954650381506438789510693950696468080444212580591862061513651069892960356089206918703397508202500603599066558680106808699610564774296424411898100376548815276205735399508769383886713182901331900709215562762393840952159846108328489733303601515819938911213657762129040992440012390487604239149496517887498289939164148191587955297673846522121025006111084972268047837838222864254591248395135616019542503781534586491747792572983355964988216521735602651158702414577048167254288808688194275490335025456563949575416167865571120792517028890369309299775114634128380183511829888512685520857869755281781000067915916009589826206268682965179925069119339536432068648449746088520743748260138752892061239535888991600978368148672158110268914353201765522514879238689694967679795889180653820571172294418499644577295308174926232892215777809246115215490137292305011273741576246743728433670130097636035480964224926048514918952879740314318351185135722415470595106350898514204465608681904109966340769949454615079871872811594117282605363666348428248386167123162669250443430914086492962677784311449188656252801750750559030445657475681298767874983881185759211387303914479524088231763693914633619146912132849962398870715873697268345724215918952990642354705513810033221970704335591483426113510600289300918586064498682573239341263145706210279154705649512133606641975094320209540877130851312899552785872686573181064747440654199310174324943703136826462359702184070780519007105079829887359428680609371760837345340022692245210550044069015067140399532271368303 gamma(4,3) = 0.283640277148049541172115726274378931032300605261783590885789032810667929189057026684590341925972634664484041444119671175256206591816291502918943543704537224980221928430703729100970405841276888833982753669400681901066903398435618479056141688767087444055949220626857055722779143700698509504261485499103598396489159170432334454935629614835460412748865173469731044045008380534852822160371336606574644397012811807188706638795122262695099777437591417828050254312444103155813550681585100962985640443489270754013287736405299546488045116379885312986699460875968820614295557224287095466053862807557186158092219846660040326548105173998721534624157859416777184258236774369032238487563941337997841987443344118482696152779878253470420417563714524244563409270522519706155219327395507519315338659309623606077791873474150856294894944545515655981803037560525417321547508783498573106429433906148833514034622137614978986082381290446981741848434409917687885117305886110279425866042762364560834550048398019026131988617624824553264592577196239648122768321919340014936780068407941555615067863141488731072145905907500012194595674720893875988683579578707527403227918608335275914737211912668323899220120416902855817759353508004349319393953989735509465366820747131926956822352642664745132059693628438111740827198297732232781787702457937841943954331177514354688700113116724948582500730621324915200206988003806588160159434540544070433245244143603709242020950003743310356967377556033610012108651885276341744324001483915201418995486131407754801696263530295451271323248754243088529825812516375488307455880486050756047596695154992369758088211401737450075585885340800898292754726733529581601566490152926151208252836616862154704595929889128018707762029534638491844052038164828662629402964766974382778020244839112666876030052634242992878040338259466739356829223618059626501431523640386385649579349018281338372611873549255151526485252108295231291521262089238552428177250008887548496864267688490377940561687688865010432242079954484866577932158205695260478020740983535891027445841207577358866457291359873931177068872301879079419115877441535176685600699108393687288438333517784832578675235544044872283415767450854630749402036590299290615037819426364048394103512059739231617848334145264575326275248185815308404085175124800611415919569105588351379091225166650401186309158830257351818509623975203779560063901613882527393175093380229003221516704259514165907104296498658151554743069051130432042794832909113725153254472429348589470881216815471886309355985437132717637418816590411759557858831534636472163910927615589613972192918741271918370116757205591017227922372217413551329296854382969611986939744429007085981627768991360624841243458493733322617780176177932558351385751689901845344209264752557409514814436405908442346461444576134028049884046760740851459536230371651531510889935377250030499579345038360895056375140407423446927398615030774962914209268380319842126804967678055547049300752811227506949968524491782647376727437520629288361996358177222868922487949369528496325756530488193038924336674798551011496355203098588297783247208993752400946704508924340230528997163079444630431171286276427869275918280216915131117549055622474620980557077660811066289340035053188702168115423500347910321732374878501783658243146768489368420563120434816804797138420958045968323600132602861444499954806879783511919145686344034529869837215928577561577415363610118260053580197592742071769112478555286388509139683348378097540478258568820516076827622136609039122891953988261108294219537902189899713159453314141006189420689654559932703053421689766346200033435430106166073192308689389515791001230500534372624340170992098876716808780150933890073028274832853101343071510503615937460505586514179909026225784461933524529050707408830806081554804613675311783560777325820964874586491393639937101952779955526974436054962174658214401499121200241732068350387583786378723061153777409111920510762103627186552343498752852249868214586507008269422471088692467670896055813954352689458532222151771728182200583999451781170743887585761064872065722301098848347949840509687927957726062427348979865922244589029222131270695152227763118613524827836028352814890896816322694295108717171363680020941113909088587126459812263102107934607130173708784307158481542333321583188759255836482254241498322517896187461307628019787410248493116040609856920330896478744359718859534674044063064500120230317922228916050073233806647948544963960000433650966771813782241492296506060380819718279948941045011894856633108911022540421628176967120261016164608955737720595406272551596004487523940015589355999495282516511452247076331006955652012997475000545919588326340639575299044655404522269471752945241876091131012764953472754075273856502493102254159175400948535592499452337141448921497405353104433034485365627932646991545443407747840228423322389771113465518745927053393431495317216860873578848498911622946807463024832487002564587719349736551714629845813770530033477977314661688003100004784404207503387481569096226174859505180157729 verification: gamma(4,3) + gamma(4,1) - (gamma + log(2)) = 0.E-5028 accuracy (c, gammaSB, gammaNH, Cilleruelo, gauss_constant, gamma(4,3), gamma(4,1)) = 5.174343739 E-9865 accuracy (b) = 1.177472661 E-9865 acceleration level = 14 b/c/gamma_SB/gamma_NH/catalan/Cilleruelo/gauss_constant/gamma41/gamma43 computation time (output time included): 2 min, 6 sec, 691 millisec ****** END PROGRAM ******** %1 = 0 Goodbye! ************/